Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x）+1，當x∈[0，1）時，f（x）=（2^x-1）（2^x-2），若f（x）在[n．n+1]上的最小值為23，則n=（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)x∈[0，1]時，f（x）=（2^x-1）（2^x-2）=2^2x-3•2^x+2=（2^x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，研究其最小值，再考慮當x∈[1，2]、[2，3]時，相應函數(shù)的最小值，總結(jié)規(guī)律即可得到結(jié)論．

解答 解：①當x∈[0，1）時，f（x）=（2^x-1）（2^x-2）
=2^2x-3•2^x+2=（2^x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0≤x＜1，∴1≤2^x＜2，
當2^x=$\frac{3}{2}$，x=log₂$\frac{3}{2}$時，f （x）_min=-$\frac{1}{4}$；
②當n=1，即x∈[1，2]時，有x-1∈[0，1]，f（x-1）=（2^x-1-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
f（x）=2f（x-1）+1=2（2^x-1-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤x-1≤1，1≤2^x-1≤2，當2^x-1=$\frac{3}{2}$，x=log₂3時，f （x）_min=$\frac{1}{2}$，
③當n=2，即x∈[2，3]，有x-2∈[0，1]，f（x-2）=（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
f（x-1）=2f（x-2）+1=2（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
f（x）=2f（x-1）+1=4（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²+2，
則2^x-2=$\frac{3}{2}$，即x=log₂6時，f（x）取得最小值2；
同理可得當n=3，即x∈[3，4]，f（x）的最小值為2×2+1=5，
當n=4，即x∈[4，5]，f（x）的最小值為2×5+1=11，
當n=5，即x∈[5，6]，f（x）的最小值為2×11+1=23．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．