Question

17．已知下列四個命題：
（1）若ax²-ax-1＜0在R上恒成立，則0＜a＜4；
（2）銳角三角形△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，則$\frac{1}{2}$＜sinB＜1；
（3）已知k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）恒有公共點(diǎn)，則m∈[1，5）；
（4）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，則函數(shù)f（x）在[a，b]上有最小值f（b）．
其中的真命題是（2），（4）．

Answer 1

分析 （1）考察二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)值恒小于零知開口向下，a＜0；當(dāng)a=0時，ax²-ax-1＜0在R上恒成立，故-4＜a≤0．
（2）銳角三角形，A=$\frac{π}{3}$，可知B的范圍，進(jìn)而求出sinB的范圍．
（3）基本算法聯(lián)力求解，比較麻煩；數(shù)形結(jié)合圖象法簡單明了．
（4）對函數(shù)的充分理解和認(rèn)識，求區(qū)間最值，就是判斷函數(shù)單調(diào)性．

解答 解：（1）要使ax²-ax-1＜0在R上恒成立，
當(dāng)a=0時，-1＜0，在R上恒成立，
當(dāng)a≠0時，拋物線必須開口向下才能滿足題意，同時△＜0，解得-4＜a＜0，
綜上可得，a的取值范圍為-4＜a≤0，故（1）是假命題；
（2）銳角三角形，A=$\frac{π}{3}$，可知$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sinB＜1，故（2）是真命題；
（3）由直線y-kx-1=0得知，直線恒過點(diǎn)（0，1），僅當(dāng)點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)時，此直線才恒與橢圓有公共點(diǎn)，而點(diǎn)（0，1）在y軸上，所以，$\frac{1}{m}$≤1且m＞0，得m≥1，
而根據(jù)橢圓的方程中有m≠5，故m的范圍是[1，5）∪（5，+∞），故（3）是假命題；
（4）令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，得：f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
對?x₁∈R、x₂∈R，當(dāng)x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞0，
∴f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)．
故f（x）在[a，b]上有最小值f（b），故（4）是真命題．
故答案為（2），（4）．

點(diǎn)評 此題為綜合性試題，考查的知識點(diǎn)多，學(xué)生應(yīng)把握好時間．