Question

6．函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3
（1）求a、b、c的值；
（2）當x＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)的奇偶性求得a、b、c的值．
（2）當x＜0時，根據(jù)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 的圖象，利用導數(shù)求得它的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{{ax}^{2}+1}{-bx+c}$=-f（x）=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$，∴c=0．
又∵f（1）=2，∴$\frac{a+1}{b+c}$=$\frac{a+1}$=2，∴a+1=2b．
根據(jù)f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，∴a=b=1．
綜上可得，a=b=1，c=0．
（2）當x＜0時，函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，求得x=-1，
在（-∞，-1）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單掉遞增，在（-1，0）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單掉遞減，
故單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．