Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若對(duì)任意x∈[0，

π

3

]，m[f（x）+

3

]+2=0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

3

]可得sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，進(jìn)而可得f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[0，2]，由題意可得m的不等式組，解之可得．

解答： 解：（1）f（x）=2cos（x+

π

3

）[sin（x+

π

3

）-

3

cos（x+

π

3

）]
=2cos（x+

π

3

）sin（x+

π

3

）-2cos（x+

π

3

）×

3

cos（x+

π

3

）]
=sin（2x+

2π

3

）-2

3

cos²（x+

π

3

）
=sin（2x+

2π

3

）-

3

cos（2x+

2π

3

）-

3

=2sin（2x+

π

3

）-

3

，
∵sin（2x+

π

3

）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

∈[-2-

3

，2-

3

]，
∴最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]
∴f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[0，2]．
由m[f（x）+

3

]+2=0知m≠0，
∴f（x）+

3

=-

2

m

，即0≤-

2

m

≤2，
解得m≤-1．即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬于基本知識(shí)的考查．