如圖直角梯形CBHQ，CB＝2，BH＝4，HQ＝3，BH的中點為原點O，一曲線過Q點且曲線上任意一點到B、H的距離之和都相等．

(1)求曲線方程；

(2)設曲線上任意一點P，求∠BPH的范圍；(3)曲線上的弦以C為中點的有幾條？并證明你的結論．

答案：
解析：

 　　解(1)由題意曲線為橢圓，且過Q點

　　解(1)由題意曲線為橢圓，且過Q點

　　∵BH＝4　　O為中點　　∴c＝2　　又∵QB＋QH＝8

　　∴a＝4b2＝12　　所求方程為＋＝1

　　解(2)設曲線上任意一點P

　　則|PB|＋|PH|＝8|PB|·|PH|≤16

　　又cosθ＝＝＝－1≥

　　∵cosθ在[0，π]上單調遞減

　　∴θ∈[0，]

　　解(3)有一條

　　證明：設過C(－2，2)的直線斜率為k．

　　當k＝0和k不存在時，C不是弦的中點，

　　再設過C的直線方程為y＝k(x＋2)＋2

　　代入橢圓方程＋＝1

　　得(3＋4k2)x2＋16k(1＋k)x＋16(1＋k)2－12×4＝0

　　∵3＋4k2≠0　　∴k＝

　　有唯一解．　　∴僅有一條弦　　(法二反證法)


練習冊系列答案
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如圖所示，直角梯形ABMN中，∠NAB＝90°，AN∥BM，AB＝2，AN＝，BM＝，橢圓C以A，B為焦點且過點N

(1)

建立適當?shù)淖鴺讼�，求橢圓C方程；

(2)

(理科)若點E滿足，問是否存在不平行AB的直線L與橢圓C交于P，Q兩點，且|PE|＝|QE|，若存在，求出直線L與AB夾角的范圍；若不存在，說明理由?

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如圖，在直角梯形中，，，，橢圓以、為焦點且經過點．

(1)

建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求橢圓的方程；

(2)

若點滿足,問是否存在直線與橢圓交于兩點，且？若存在，求出直線與夾角的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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解答題

如圖，已知E、F為平面上的兩個定點，(G為動點，P是HP和GF的交點)

(1)

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c的軌跡方程；

(2)

若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與

(或的延長線)相交于一點，則＜(為的中點)．

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解答題

如圖，已知E、F為平面上的兩個定點，，(G為動點，P是HP和GF的交點)

(1)

建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼登蟪鳇c的軌跡方程；

(2)

若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與

(或的延長線)相交于一點，則＜(為的中點)．

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