Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2．
（Ⅰ）證明：平面BAP⊥平面DAP；
（Ⅱ）點(diǎn)M為線段AB（含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，設(shè)直線MP與平面DCP所成角為α，求sinα的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）取PA的中點(diǎn)E，PB的中點(diǎn)O，連接DE，OE，OC．則四邊形CDEO為平行四邊形，可通過證明OC⊥平面PAB得出DE⊥平面PAB，于是平面BAP⊥平面DAP；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C，OB，OE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BM=a，求出$\overrightarrow{PM}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則sinα=|cos＜$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{n}$＞|，根據(jù)a的范圍得出sinα的范圍．

解答 證明：（I）取PA的中點(diǎn)E，PB的中點(diǎn)O，連接DE，OE，OC．
∵OE是△PAB的中位線，
∴OE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$，
∵CD∥平面PAB，CD?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，
∴CD∥AB，又CD=$\frac{1}{2}AB$，
∴OE$\stackrel{∥}{=}$OE，
∴四邊形CDEO是平行四邊形，
∴DE∥OC．
∵AB⊥平面PBC，OC?平面PBC，
∴AB⊥OC，
∵BC=PC，∴OC⊥PB，
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PB=B，
∴OC⊥平面PAB，又OC∥DE，
∴DE⊥平面PAB，∵DE?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB．
（II）∵OE∥AB，AB⊥平面PBC，
∴OE⊥平面PBC．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C，OB，OE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則P（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\sqrt{3}$，0，1），設(shè)M（0，1，a）（0≤a≤2），
則$\overrightarrow{PM}$=（0，2，a），$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，0）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{PM}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{n}}{|PM||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2\sqrt{{a}^{2}+4}}$．∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$．
∴當(dāng)a=0時(shí)，sinα取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)a=2時(shí)，sinα取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴sinα的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．