Question

如圖，圓C：（x+2）²+y²=36，P是圓C上的任意一動點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），線段PA的垂直平分線l與半徑CP交于點(diǎn)Q．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡G的方程；
（2）已知B，D是軌跡G上不同的兩個任意點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)．①若M的坐標(biāo)為M（2，1），求直線BD所在的直線方程；②若BD不經(jīng)過原點(diǎn)，且不垂直于x軸，點(diǎn)O為軌跡G的中心．
求證：直線BD和直線OM的斜率之積是常數(shù)（定值）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）結(jié)合已知條件根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡G是中心在原點(diǎn)，以C、A為焦點(diǎn)，長軸長等于6的橢圓，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡G的方程．
（2）①設(shè)B、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出BD所在的直線方程．
②設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

，kOM=

y1+y2

x1+x2

，由此能證明直線BD和直線OM的斜率之積是常數(shù)．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）圓C的圓心為C（-2，0），半徑r=6，|CA|=4．（1分）
連結(jié)QA，由已知得|QA|=|QP|，（2分）
∵|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=CP=r=6＞|CA|．（3分）
根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)Q的軌跡G是中心在原點(diǎn)，以C、A為焦點(diǎn)，長軸長等于6的橢圓，
即a=3，c=2，b²=a²-c²=9-4=5，（4分）
∴點(diǎn)Q的軌跡G的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．（5分）
（2）①設(shè)B、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則

5 x 2 1 +9 y 2 1 =45 5 x 2 2 +9 y 2 2 =45

（6分）
兩式相減，得5（x₁-x₂）（x₁+x₂）+9（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，（7分）
當(dāng)BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）時，有

x1+x2=4 y1+y2=2

，（8分）
∴20（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，即kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

10

9

．（9分）
∴BD所在的直線方程為y-1=-

10

9

(x-2)，即10x+9y-29=0．（10分）
②證明：設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
由①可知kBD=

y1-y2

x1-x2

=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

，（11分）
又kOM=

y1+y2

x1+x2

（12分）
∴kBD•kOM=-

5(x1+x2)

9(y1+y2)

×

y1+y2

x1+x2

=-

5

9

（定值）．（14分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查兩直線的斜率之積為常數(shù)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．