Question

11．已知三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{4}$，且PA⊥AB，PC⊥BC，∠ABC=60°，BA=BC=1，若此棱錐的所有頂點在球O上，則球O的表面積為$\frac{13}{3}$π．

Answer 1

分析 求出△ABC的外接圓的半徑，BC，設(shè)球O的半徑為R，O到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+d²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，求出d，R，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵△ABC中，∠ABC=60°，BA=BC=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設(shè)P到平面ABC的距離為h，
∵三棱錐P-ABC的體積為$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}h=\frac{1}{4}$，
∴h=$\sqrt{3}$．
△ABC是等邊三角形，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{1}{sin60°}$=2，∴r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)球O的半徑為R，O到平面ABC的距離為d，則由勾股定理可得R²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+d²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+（$\sqrt{3}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，R=$\sqrt{\frac{13}{12}}$，
∴球O的表面積為4πR²=$\frac{13}{3}$π．
故答案為：$\frac{13}{3}$π．

點評 本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了正弦定理、勾股定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．