Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且$2{a_n}={a_{n-1}}+1（{n≥2，n∈{N^+}}）$．
（I）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n（a_n-1），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：1≤S_n＜4．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系變形可得a_n-1=$\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-1）$，即可證明；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 證明：（I）${a_n}-1=（\frac{1}{2}{a_{n-1}}+\frac{1}{2}）-1=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-1）$，又a₁-1=1≠0
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
∴${a_n}-1={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，得${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+1$．
（II）${b_n}=n（{a_n}-1）=n{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，
設(shè)${S_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$…①
則$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$…②
①-②得：$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=4-\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{{{2^{n-1}}}}=4-\frac{2+n}{{{2^{n-1}}}}$，
${S_n}=4-\frac{2+n}{{{2^{n-1}}}}＜4$，又${b_n}=n{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}＞0$，
∴數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，故S_n≥S₁=1，
∴1≤S_n＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．