Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP兩兩垂直，長度分別為1，2，2．若$\overrightarrow{DC}$=λ$\overrightarrow{AB}$，且向量$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即可建立坐標(biāo)系：以A為坐標(biāo)原點，分別以邊AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后即可根據(jù)已知條件求出點P，A，B，C，D點的坐標(biāo)，利用向量$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值為求出λ的值．
（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夾角的余弦公式求解直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
則：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；$\overrightarrow{DC}$=λ$\overrightarrow{AB}$，可得C（λ，2，0）．
（1）$\overrightarrow{PC}$=（λ，2，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），向量$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
可得$\frac{\sqrt{15}}{15}$=$\frac{-λ+4}{\sqrt{{λ}^{2}+8}•\sqrt{1+4}}$，解得λ=10（舍去）或λ=2．
實數(shù)λ的值為2．；
（2）$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0$，即：x+y-z=0，y-z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，
平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．又$\overrightarrow{PB}$=（1，0，2）．
故cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}$=$-\frac{\sqrt{10}}{5}$．
直線PB與平面PCD所成角的正弦值為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線所成角，直線和平面所成角的方法，能求空間點的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運算，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，理解平面法向量的概念，弄清直線和平面所成角，與直線的方向向量和法向量所成角的關(guān)系．