Question

5．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=$\sqrt{2}$AB，點E在棱SC上．
（Ⅰ）若E為SC的中點，求證：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求CE與平面BDE所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證明SA∥平面BDE，只需證明SA平行于平面BDE內(nèi)的一條直線即可，而E為中點，所以連接AC、BD交于點O．由條件知道O為AC中點，從而EO為三角形SAC的中位線，從而得到SA∥OE，得證；
（Ⅱ）證明∠CEO為CE與平面BDE所成的角，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD的交點為O，連接OE，
因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)為AC的中點，
又E為SC的中點，所以O(shè)E為三角形SAC的中位線，所以SA∥OE，
又OE?面BDE，SA?面BDE，
所以，SA∥平面BDE；
（Ⅱ）解：因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，
因為SA∥EO，所以EO⊥OC，
因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，
所以O(shè)C⊥平面BDE，
所以∠CEO為CE與平面BDE所成的角．
設(shè)正方形的邊長為a，則EO=$\frac{1}{2}$SA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
Rt△COE中，tan∠CEO=$\frac{OC}{EO}$=1，所以∠CEO=45°，
所以CE與平面BDE所成的角為45°．

點評 本題考查線面平行的判定，直線與平面所成的覺，線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行是解題的關(guān)鍵．