Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{lnx}$-ax．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)b=1時，若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實數(shù)a的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求f（x）=$\frac{bx}{lnx}$的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=$\frac{blnx-b}{l{n}^{2}x}$=b$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，從而討論確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b=1時，f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$-a，從而可得當(dāng)x₂=e²時，f′（x₂）+a有最大值$\frac{1}{4}$，從而只需使存在x₁∈[e，e²]，使f（x₁）≤0，從而可得a≥$\frac{1}{ln{x}_{1}}$-$\frac{1}{4{x}_{1}}$，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{bx}{lnx}$的定義域為（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{blnx-b}{l{n}^{2}x}$=b$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
①當(dāng)b＞0時，x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞）；
②當(dāng)b＜0時，x∈（0，1）∪（1，e）時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，e）；
（2）當(dāng)b=1時，f（x）=$\frac{x}{lnx}$-ax，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$-a，
故f′（x₂）+a=$\frac{ln{x}_{2}-1}{ln{{{\;}^{2}x}_{2}}^{\;}}$=-（$\frac{1}{ln{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)x₂=e²時，f′（x₂）+a有最大值$\frac{1}{4}$，
故只需使存在x₁∈[e，e²]，使f（x₁）≤$\frac{1}{4}$，
故$\frac{{x}_{1}}{ln{x}_{1}}$-ax₁≤$\frac{1}{4}$，
即a≥$\frac{1}{ln{x}_{1}}$-$\frac{1}{4{x}_{1}}$，
令g（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$，g′（x）=$\frac{（lnx）^{2}-4x}{4{x}^{2}（lnx）^{2}}$；
故g（x）=$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{4x}$在[e，e²]上是減函數(shù)，
g（e）=1-$\frac{1}{4e}$，g（e²）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$；
故只需使a≥$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$；
故實數(shù)a的最小值為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{e}^{2}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的化簡與應(yīng)用．