Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，．

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD．（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

(1)因?yàn)?/span>,所以,即.

同理可得.

因?yàn)?/span>.所以平面.

(2)由題意可知,兩兩垂直,故以A為原點(diǎn),分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則，

所以.

設(shè)平面的法向量為，

則，

不妨取則

易得平面,所以平面的一個(gè)法向量為，

記平面與平面所成銳二面角為,則

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.