Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，其離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線，與軸分別相交于兩點(diǎn)，試問是否為定值？如果，求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意得到關(guān)于b,c的方程組，求解方程組結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線的y軸截距式方程：，結(jié)合直線方程可得，． 聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，結(jié)合韋達(dá)定理可得，則為定值.

試題解析：

（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，

此時(shí)的面積，①

又橢圓的離心率，②

由①②得：，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線的方程為，則

直線的方程為，則，即，

同理可得．

由得，

由得且，

所以

，

故為定值．