Question

11．已知數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{（n+2）{a}_{n}^{2}-{na}_{n}+n+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，（n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，猜測a_n，并用數學歸納法證明；
（2）比較3^a_n與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，并給出證明過程．

Answer 1

分析 （1）直接由數列遞推式結合a₁=1求得a₂，a₃，a₄的值，猜測a_n，然后利用數學歸納法證明；
（2）比較3^a_n與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，即比較3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，通過比較n=1，2，3，4，5時，兩個代數式的大小，猜想結論，利用數學歸納法證明即可．

解答 解：（1）由a_n+1=$\frac{（n+2）{a}_{n}^{2}-{na}_{n}+n+1}{{a}_{n}^{2}+1}$，且a₁=1，
得${a}_{2}=\frac{3×{1}^{2}-1×1+2}{2}=2$，
${a}_{3}=\frac{4×{2}^{2}-2×2+3}{5}=3$，
${a}_{4}=\frac{5×{3}^{2}-3×3+4}{10}=4$．
由上猜測a_n=n．
下面用歸納法證明：
當n=1時，a₁=1，結論成立；
假設當n=k時結論成立，即a_k=k，
則當n=k+1時，${a}_{k+1}=\frac{（k+2）•{{a}_{k}}^{2}-k{a}_{k}+k+1}{{{a}_{k}}^{2}+1}$=$\frac{（k+2）•{k}^{2}-{k}^{2}+k+1}{{k}^{2}+1}$
=$\frac{{k}^{3}+{k}^{2}+k+1}{{k}^{2}+1}=\frac{k（{k}^{2}+1）+{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}=\frac{（k+1）（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+1}=k+1$．
∴當n=k+1時，結論成立．
綜上，a_n=n；
（2）3^a_n =3ⁿ，
當n=1時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=4，5時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²
猜想：當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用數學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時結論成立，
假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]．
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0．
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）² ．
即n=k+1時結論也成立，
∴當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．

點評 本題考查數列遞推式，考查了數列的函數特性，訓練了利用數學歸納法證明與自然數有關的命題，是中檔題．