Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為

3

2

，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知p為非零常數(shù)，若過點P（p，0）的直線l與橢圓C相交于不同于橢圓長軸頂點的兩點M，N，且

MP

=λ

PN

，問在x軸上是否存在定點Q，使

QM

-λ

QN

與x軸垂直？若存在，求定點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，求出a，b，即可求得橢圓的方程；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)在x軸上存在定點Q（t，0），再利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出t的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：（1）由題意，

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，
∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)在x軸上存在定點Q（t，0），使

QM

-λ

QN

與x軸垂直．
設(shè)直線l的方程為x-p=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MP

=λ

PN

，得y₁+λy₂=0．
即λ=-

y1

y2

①
∵

MN

=（4，0），

QM

-λ

QN

=（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂），
∴x₁-t-λx₂+λt=0，
∴x₁-t=λ（x₂-t），
即ky₁+p-t=λ（ky₂+p-t）②
①代入②得2ky₁y₂+（p-t）（y₁+y₂）=0③
把x=p+ky代入橢圓，消去x可得（k²+4）y²+2kpy+p²-4=0，
∴y₁+y₂=-

2kp

k2+4

，y₁y₂=

p2-4

k2+4

，
代入③化簡可得pt=4，當(dāng)t=

4

p

時，上式恒成立，
因此，在x軸上存在定點Q（

4

p

，0），使

QM

-λ

QN

與x軸垂直．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的運算、橢圓方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．