Question

已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n＞2），令T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，card（T_A）表示集合T_A中元素的個數．關于card（T_A）有下列四個命題：
①card（T_A）的最大值為

1

2

n²；
②card（T_A）的最大值為

1

2

n（n-1）；
③card（T_A）的最小值為2n；
④card（T_A）的最小值為2n-3．
其中，正確的是（　�。�

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：集合中元素個數的最值

專題：集合

分析：當集合A中任意兩個元素的和不等時，card（T_A）有最大值，當a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數）時，card（T_A）有最小值，由此求出card（T_A）的最大值和最小值判斷四個命題得答案．

解答： 解：∵A={a₁，a₂，…a_n}，且T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，
∴當集合A中任意兩個元素的和不等時，card（T_A）有最大值為

C

2 n

=

1

2

n(n-1)；
當a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數）時，card（T_A）有最小值，
說明數列a₁，a₂，…，a_n，構成等差數列，
取特殊的等差數列進行計算，
取A={1，2，3，…，n}，則T_A={3，4，5，…，2n-1}，
由于（2n-1）-3+1=2n-3，
∴T_A中共2n-3個元素，
利用類比推理可得，
若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c為非零常數），則card（T_A）=2n-3．
∴正確的命題是②④．
故選：D．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了集合中元素個數的最值求法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．