Question

已知F為拋物線y²=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，

OA

•

OB

=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AFO與△BFO面積之和的最小值是（　　）

• A、

  2

  8

• B、

  2

  4

• C、

  2

  2

• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個(gè)一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及

OA

•

OB

=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（0，m），
x=ty+m代入y²=x，可得y²-ty-m=0，根據(jù)韋達(dá)定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，從而（y₁•y₂）²+y₁•y₂-2=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，
∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y₁＞0，
又F（

1

4

，0），
∴S_△BFO+S_△AFO=

1

2

•

1

4

•y₁+

1

2

•

1

4

•|y₂
=

1

8

（y₁+

2

y1

）
≥

1

8

•2

2

=

2

4

當(dāng)且僅當(dāng)y₁=

2

y1

，即y₁=

2

時(shí)，取“=”號(hào)，
∴△BFO與△AFO面積之和的最小值是

2

4

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：求解本題時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)要點(diǎn)：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時(shí)，為使面積的表達(dá)式簡(jiǎn)單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．