Question

若函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1在區(qū)間（0，1）上無零點，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為a=-

x3+x+1

x2

在區(qū)間（0，1）上無實根，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+x+1，
∴f（0）=1＞0，f（1）=a+3＞0，即a＞-3，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1在區(qū)間（0，1）上無零點，
∴f（x）=x³+ax²+x+1=0在區(qū)間（0，1）上無實根，
即-ax²=x³+x+1，
a=-

x3+x+1

x2

在區(qū)間（0，1）上無實根，
設(shè)g（x）=-

x3+x+1

x2

，
則g′（x）=

-x3+x+2

x3

，
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）＜g（1）=2，
要使a=-

x3+x+1

x2

在區(qū)間（0，1）上無實根，
則a≥2，
故實數(shù)a的取值范圍為[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法以及導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．