Question

單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

2

（a_n²+n）．
（1）求a₁，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

an+1，n為奇數(shù) an-1×2an-1+1，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設(shè)條件，由n=1能求出a₁；再由n≥2列出前n-1項和，二者作差后通過化簡整理能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）構(gòu)造一個新數(shù)列Sn=1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1，并進行裂項求和，從而對題設(shè)條件進行化敏為簡，由此入手能夠求出數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

2

（a_n²+n），①
∴當(dāng)n=1時，a1=

1

2

(

a

2 1

+1)，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，a1+a2+a3+…+an-1=

1

2

(

a

2 n-1

+n-1)，②
①-②并整理，得an=

1

2

(

a

2 n

-

a

2 n-1

+1)，
∴(an-1)2-

a

2 n-1

=0，
解得a_n-a_n-1=1或a_n+a_n-1=1（n≥2）
又∵{a_n}單調(diào)遞增數(shù)列，故a_n-a_n-1=1
∴{a_n}是首項是1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n…（6分）
（2）∵c_n=

an+1，n為奇數(shù) an-1×2an-1+1，n為偶數(shù)

，
∴T2n=(2+4+…+2n)+[1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1]+n
=n（n+1）+[1×2¹+3×2³+…（2n-1）×2^2n-1]+n
記Sn=1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1③
4Sn=1×23+3×25+…(2n-1)×22n+1④
由③-④得-3Sn=2+24+26+…+22n-(2n-1)22n+1，
∴-3Sn=22+24+26+…+22n-(2n-1)22n+1-2，
-3Sn=

4(1-4n)

1-4

-(2n-1)22n+1-2，
∴Sn=

4(1-4n)

9

+

(2n-1)22n+1

3

+

2

3

，
Sn=

(6n-5)22n+1

9

+

10

9

，
∴T2n=

(6n-5)22n+1

9

+n2+2n+

10

9

．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和裂項求和法的合理運用．