Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，A點(diǎn)在（4，0），B點(diǎn)在圓（x-2）²+y²=1上，以AB為邊作正△ABC（A、B、C按順時(shí)針排列），則頂點(diǎn)C的軌跡是（　�。�

• A、圓
• B、橢圓
• C、拋物線
• D、雙曲線的一支

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：坐標(biāo)系平移，原點(diǎn)移至點(diǎn)A，則在新坐標(biāo)系下，點(diǎn)A（0，0），圓的方程為（x+2）²+y²=1，設(shè)點(diǎn)B（cosα-2，sinα），點(diǎn)C（x，y），則點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即得點(diǎn)B，再消去參數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：坐標(biāo)系平移，原點(diǎn)移至點(diǎn)A，則在新坐標(biāo)系下，點(diǎn)A（0，0），圓的方程為（x+2）²+y²=1．
可設(shè)點(diǎn)B（cosα-2，sinα），點(diǎn)C（x，y），則點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即得點(diǎn)B，
故（cosα-2，sinα）=（

1

2

x-

3

2

y，

3

2

x+

1

2

y），
∴cosα-2=

1

2

x-

3

2

y，sinα=

3

2

x+

1

2

y，
∴2cosα=x-

3

y+4，2sinα=

3

x+y，
兩式的兩邊分別平方，再相加，消去參數(shù)α，得：（x+1）²+（y-

3

）²=1．
故在原坐標(biāo)系下，點(diǎn)C的軌跡方程為（x-3）²+（y-

3

）²=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查軌跡方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．