Question

公安部最新修訂的《機動車駕駛證申領(lǐng)和使用規(guī)定》于2013年1月1日起正式實施，新規(guī)實施后，獲取駕照要經(jīng)過三個科目的考試，先考科目一（理論一），科目一過關(guān)后才能再考科目二（樁考和路考），科目二過關(guān)后還要考科目三（理論二）．只有三個科目都過關(guān)后才能拿到駕駛證．某駕�，F(xiàn)有100名新學(xué)員，第一批參加考試的20人各科目通過的人數(shù)情況如下表：

參考人數(shù)	通過科目一人數(shù)	通過科目二人數(shù)	通過科目三人數(shù)
20	12	4	2

請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)：
（Ⅰ）估計該駕校這100名新學(xué)員有多少人一次性（不補考）獲取駕駛證；
（Ⅱ）第一批參加考試的20人中某一學(xué)員已經(jīng)通過科目一的考試，求他能通過科目二卻不能通過科目三的概率；
（Ⅲ）該駕校為調(diào)動教官的工作積極性，規(guī)定若所教學(xué)員每通過一個科目的考試，則學(xué)校獎勵教官100元．現(xiàn)從這20人中隨機抽取1人，記X為學(xué)校因為該學(xué)員而獎勵教官的金額數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先由表中數(shù)據(jù)求出一次性（不補考）獲取駕駛證的頻率，再由學(xué)員數(shù)能求出一次性（不補考）獲取駕駛證人數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)“通過科目一、二、三”分別為事件A，B，C，利用條件概率公式能求出結(jié)果．
（Ⅲ）設(shè)這個學(xué)員一次性過關(guān)的科目數(shù)為Y，由已知條件Y=0，1，2，3，分別求出P（Y=0），P（Y=1），P（Y=2）和P（Y=3）的值，由此能求出Y的分布列和EY．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)可知一次性（不補考）獲取駕駛證的頻率為

2

20

=

1

10

，
估計這100名新學(xué)員中有100×

1

10

=10人一次性（不補考）獲取駕駛證．（3分）
（Ⅱ）設(shè)“通過科目一、二、三”分別為事件A，B，C，
則P（A）=

12

20

，P（B

.

C

）=

2

20

，
P=P（B

.

C

|A）=

2 20

12 20

=

2

12

=

1

6

（6分）
（Ⅲ）設(shè)這個學(xué)員一次性過關(guān)的科目數(shù)為Y，
則Y=0，1，2，3，
設(shè)“通過科目一、二、三”分別為事件A，B，C，
由題設(shè)知P（A）=

12

20

，P（AB）=

4

20

，P（ABC）=

2

20

，
∴P（B）=

P(AB)

P(A)

=

4 20

12 20

=

1

3

，
P（C）=

P(ABC)

P(AB)

=

2 20

4 20

=

1

2

，
∴P（Y=0）=P（

.

A

）=1-

12

20

=

2

5

，
P（Y=1）=P(A

.

B

)=

12

20

×(1-

1

3

)=

2

5

，
P（Y=2）=P（AB

.

C

）=

12

20

×

1

3

×(1-

1

2

)=

1

10

，
P（Y=3）=P（ABC）=

12

20

×

1

3

×

1

2

=

1

10

，
則Y的分布列為

Y	0	1	2	3
P	2 5	2 5	1 10	1 10

（8分）
EY=0×

2

5

+1×

2

5

+2×

1

10

+3×

1

10

=

9

10

（10分）
而X=100Y，所以EX=100EY=100×

9

10

=90（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意條件概率公式的靈活運用．