分析 (I)由已知可得f(0)=$\left\{\begin{array}{l}2a,a≥0\\ 0,a<0\end{array}\right.$,若f(0)≤1,則2a≤1,解得:a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a≥2時,f(x)+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-(2a-1)]+\frac{4}{x},x≥a\\(x-1)(x-2a)+\frac{4}{x},0<x<a\end{array}\right.$,分類討論,可得f(x)+$\frac{4}{x}$在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)零點的個數(shù).
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
∴f(0)=a2+|a|-a(a-1)=$\left\{\begin{array}{l}2a,a≥0\\ 0,a<0\end{array}\right.$,
若f(0)≤1,則2a≤1,
解得a$≤\frac{1}{2}$;
(Ⅱ)設(shè)F(x)=f(x)+$\frac{4}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}x[x-(2a-1)]+\frac{4}{x},x≥a\\(x-1)(x-2a)+\frac{4}{x},0<x<a\end{array}\right.$,
則函數(shù)F(x)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上連續(xù),
(1)當(dāng)a=2時,
①若x≥2,則F(x)=${x}^{2}-3x+\frac{4}{x}$,
F′(x)=2x-3-$\frac{4}{{x}^{2}}$≥0恒成立,即F(x)為增函數(shù),
又由F(2)=0,
故此時f(x)+$\frac{4}{x}$在區(qū)間(0,+∞)有且只有一個零點;
②若0<x<2,則F(x)=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$,由${x}^{2}-5x+4>-2,\frac{4}{x}>2$得:
F(x)>0恒成立,
故此時f(x)+$\frac{4}{x}$在區(qū)間(0,+∞)沒有零點;
(2)當(dāng)a>2時,
①若x≥a,則F(x)=$x[x-(2a-1)]+\frac{4}{x}$,
F′(x)=2x-(2a-1)-$\frac{4}{{x}^{2}}$>0恒成立,即F(x)為增函數(shù),
②若0<x<a,則F(x)=${x}^{2}-5x+4+\frac{4}{x}$,由${x}^{2}-5x+4>-2,\frac{4}{x}>2$得:
F(x)=2x-(2a+1)-$\frac{4}{{x}^{2}}$<0恒成立,即F(x)為減函數(shù),
又由F(a)=a-a2+$\frac{4}{a}$<0,
故此時f(x)+$\frac{4}{x}$在區(qū)間(0,+∞)有兩個零點;
綜上所述,當(dāng)a=2時,F(xiàn)(x)有一個零點,a>2時F(x)有兩個零點
點評 本題考查的知識點比較多,包括絕對值不等式的解法,函數(shù)的零點,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查分類討論思想的應(yīng)用,函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,也考查化歸思想的應(yīng)用.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)內(nèi)是增函數(shù) | B. | f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)內(nèi)是減函數(shù) | ||
C. | f(x)在(-∞,$\frac{1}{2}$)內(nèi)是增函數(shù) | D. | f(x)在(-∞,$\frac{1}{2}$)內(nèi)是減函數(shù) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com