Question

2．某校隨機調(diào)查80名學(xué)生，以研究學(xué)生愛好羽毛球運動與性別的關(guān)系，得到下面的2×2列聯(lián)表：

	愛好	不愛好	合計
男	20	30	50
女	10	20	30
合計	30	50	80

（Ⅰ）將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機調(diào)查本校的3名學(xué)生，設(shè)這3人中愛好羽毛球運動的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否認為愛好羽毛球運動與性別有關(guān)？

P（x2≥k）	0.050	0.010
k	3.841	6.635

附：x²=$\frac{n{{（n}_{11}n}_{22}{{-n}_{12}n}_{21}）}{{n}_{1+}•{n}_{2+}•{n}_{+1}•{n}_{+2}}$．

Answer 1

分析 （I）由題意知X～B（3，$\frac{3}{8}$），計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；
（II）由表中數(shù)據(jù)計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論．

解答 解：（I）任一學(xué)生愛好羽毛球的概率為$\frac{3}{8}$，故X～B（3，$\frac{3}{8}$）；
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$×${（\frac{5}{8}）}^{3}$=$\frac{125}{512}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{8}$×${（\frac{5}{8}）}^{2}$=$\frac{225}{512}$，
$P（X=2）=C_3^2×{（{\frac{3}{8}}）^2}×{（{\frac{5}{8}}）^1}=\frac{135}{512}$，
$P（X=3）=C_3^3×{（{\frac{3}{8}}）^3}=\frac{27}{512}$；
所以，隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為$E（X）=3×\frac{3}{8}=\frac{9}{8}$；…（8分）
（II）因為${Χ^2}=\frac{{80×{{（20×20-10×30）}^2}}}{30×50×30×50}=\frac{16}{45}≈0.3556＜3.841$，
所以沒有理由認為愛好羽毛球運動與性別有關(guān)．…（12分）

點評 本題考查了古典概型的概率計算問題，也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．