Question

12．若定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）＞0，f（1）=0，則不等式f（2-x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$•f（x），對其求導(dǎo)分析可得g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）為增函數(shù)，分析可得g（1）=0，進(jìn)而分析可得若f（2-x）＞0，則有2-x＞1，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$•f（x），（x＞0），
g′（x）=（${x}^{\frac{1}{2}}$）′•f（x）+${x}^{\frac{1}{2}}$•f′（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$×[$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）]，
又由函數(shù)f（x）滿足$\frac{1}{2}$f（x）+xf′（x）＞0，則有g(shù)′（x）＞0，即函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
又由f（1）=0，則有g(shù)（1）=$\sqrt{1}$×f（1）=0，
分析可得：f（x）＞0?g（x）＞0⇒g（x）＞g（1）⇒x＞1，
若f（2-x）＞0，則有2-x＞1，即x＜1，
即不等式f（2-x）＞0的解集是（-∞，1）；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化法求不等式的解集，關(guān)鍵是根據(jù)題目的條件構(gòu)造新函數(shù)．