Question

20．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體．
（1）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（2）求異面直線B₁D₁與BC₁所成角的大��；
（3）求證BD⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）由B₁D₁∥BD，能證明B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）由B₁D₁∥BD，得∠DBC₁是異面直線B₁D₁與BC₁所成角，由此能求出異面直線B₁D₁與BC₁所成角．
（3）推導出BD⊥CC₁，AC⊥BD，由此能證明BD⊥平面ACC₁．

解答 證明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴B₁D₁∥BD，
∵B₁D₁?平面BC₁D，BD?平面BC₁D
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
解：（2）∵B₁D₁∥BD，∴∠DBC₁是異面直線B₁D₁與BC₁所成角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴異面直線B₁D₁與BC₁所成角為60°．
證明：（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴ABCD是正方形，BD⊥CC₁，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．