Question

5．對于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列5個結論：
①任取x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[4，5]上單調遞增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N₊），對一切x∈[0，+∞）恒成立；
④函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；
⑤若關于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有兩個不同實根x₁，x₂，則x₁+x₂=3．
則其中所有正確結論的序號是①④⑤．（請寫出全部正確結論的序號）

Answer 1

分析 作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象，分別利用函數(shù)的性質進行判斷即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
①∵f（x）的最大值為1，最小值為-1，
∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，故①正確；
②函數(shù)在區(qū)間[4，5]上的單調性和[0，1]上的單調性相同，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[4，5]上不單調；故②錯誤；
③f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$+2）=4f（$\frac{1}{2}$+4）=6f（$\frac{1}{2}$+6）≠8f（$\frac{1}{2}$+8），故不正確；故③錯誤，
④如圖所示，函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）有3個零點；故④正確，
⑤當1≤x≤2時，函數(shù)f（x）關于x=$\frac{3}{2}$對稱，若關于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有兩個不同實根x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，則x₁+x₂=3成立，故⑤正確，
故答案為：①④⑤．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質，利用分段函數(shù)的表達式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．