Question

9．市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數(shù)量的關(guān)系作數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%（x＞0），銷售數(shù)量就減少kx%（其中k為常數(shù)）．目前，該商品定價為a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個．
（1）當$k=\frac{1}{2}$時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售總金額y達到最大，最大值為多少？
（2）在（1）的條件下，求當x∈（0，m]時使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范圍；
（3）求k的取值范圍，使得在適當?shù)臐q價過程中，銷售總金額y能不斷增加．

Answer 1

分析 （1）依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為：y=a（1+x%）b（1-kx%），當$k=\frac{1}{2}$時$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$，即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)圖象，即可求當x∈（0，m]時使$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$的m的范圍；
（3）二次函數(shù)開口向下，對稱軸為$x=\frac{50（1-k）}{k}$，在適當漲價過程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x＞0}的一個子集中增大時，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，即可求k的取值范圍．

解答 解：依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為：y=a（1+x%）b（1-kx%）
=$\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$（3分）
（1）當$k=\frac{1}{2}$時$y=\frac{ab}{10000}（-\frac{1}{2}{x^2}+50x+10000）$（4分）
∴x=50，即商品價格上漲50%時，y最大為$\frac{9}{8}ab$．
答：商品價格上漲50%時，銷售的總金額達到最大，最大值為$\frac{9}{8}ab$．    （7分）
（2）在（1）的條件下，當$y∈（{ab，\frac{9}{8}ab}]$時，由圖象可知，m∈[50，100）（11分）
（3）因為$y=\frac{ab}{10000}[-k{x^2}+100（1-k）x+10000]$，
此二次函數(shù)開口向下，對稱軸為$x=\frac{50（1-k）}{k}$，
在適當漲價過程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x＞0}的一個子集中增大時，y也增大，所以$\frac{50（1-k）}{k}＞0$，解之得0＜k＜1．
答：當0＜k＜1時，可在適當漲價過程中，銷售總金額不斷增加．    （16分）

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查函數(shù)模型的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．