Question

15．設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，令${a_n}=\frac{x_n}{n^2}$，則a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值為$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．得到x_n和a_n的表達式，利用裂項法進行求解從而問題解決．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=（n+1）xⁿ，
則函數(shù)在（1，1）處的切線斜率k=f′（1）=n+1，
在點（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設y=0，${x_n}=\frac{n}{n+1}$，
則${a_n}=\frac{x_n}{n^2}$=$\frac{\frac{n}{n+1}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案為：$\frac{2015}{2016}$．

點評 本小題主要考查直線的斜率、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．利用裂項法 進行求和是解決本題的一個技巧．