Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a=2b，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求得a，b得答案；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長及AB中點(diǎn)坐標(biāo)，得到OM所在直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，求出C，D的坐標(biāo)，把︳MA︳•︳MB︳化為$\frac{1}{2}|AB{|}^{2}$，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．

解答 （Ⅰ）解：如圖，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)AB所在直線方程為y=$\frac{1}{2}x+m$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-2=0．
∴△=4m²-4（2m²-2）=8-4m²＞0，即$-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-2m，{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-2$，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-2）}=\sqrt{10-5{m}^{2}}$．
∴x₀=-m，${y}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{0}+m=\frac{m}{2}$，即M（$-m，\frac{m}{2}$），
則OM所在直線方程為y=-$\frac{1}{2}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．
∴C（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
則︳MC︳•︳MD︳=$\sqrt{（-m+\sqrt{2}）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$$•\sqrt{（-m-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{5}{4}{m}^{2}+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\sqrt{2}m）•（\frac{5}{4}{m}^{2}+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{2}m）}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}-\frac{5}{4}{m}^{2}）^{2}}=\frac{5}{2}-\frac{5}{4}{m}^{2}$．
而︳MA︳•︳MB︳=$（\frac{1}{2}|AB|）^{2}=\frac{1}{4}$（10-5m²）=$\frac{5}{2}-\frac{5{m}^{2}}{4}$．
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了計(jì)算能力，是中檔題．