Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{sinC}{c}$．
（Ⅰ）證明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，求tanB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用（Ⅰ）的條件，求解B的正切函數(shù)值即可．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABC中，∵$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}$=$\frac{sinC}{c}$，
∴由正弦定理得：$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=\frac{sinC}{sinC}$，
∴$\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}=1$，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{3}{5}$．
sinA=$\frac{4}{5}$，$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{3}{4}$
$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinC}{sinC}$=1，$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{1}{4}$，
tanB=4．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．