Question

6．已知求形如函數y=（f（x））^g（x）的導數的方法如下：先兩邊同取自然對數得：lny=g（x）lnf（x），再兩邊同時求導數得到：$\frac{1}{y}$•y′=g′（x）•lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}$•f′（x），于是得到y′=（f（x））^g（x）•（g′（x）•lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}•$f′（x））．運用此方法求得函數y=x${\;}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的極值情況是（　�。�

• A． 極大值點為（e，e${\;}^{\frac{1}{e}}$）
• B． 極小值點為（e，e${\;}^{\frac{1}{e}}$）
• C． 極大值點為e
• D． 極小值點為e

Answer 1

分析 運用此方法求得函數導數，然后根據函數極值和導數之間的關系進行判斷．

解答 解：根據求函數導數的方法得y′=${x}^{\frac{1}{x}}$•（ $\frac{-1}{{x}^{2}}$•lnx+$\frac{1}{x}$•$\frac{1}{x}$•1）=${x}^{\frac{1}{x}}$•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0）
令y′＞0，得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此時函數單調遞增
由y′＜0，解得x＞e，此時函數單調遞減，
即當x=e時，函數y=x${\;}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）取得極大值，
∴x=e是函數的極大值點，
故選：C．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，根據求函數導數的方法，求出函數的導數是解決本題的關鍵．