Question

13．如圖為某四面體的三視圖，其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均是邊長為4的正方形，則該四面體的內(nèi)切球的半徑為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體．棱長為4$\sqrt{2}$，利用等體積即可得出該四面體的內(nèi)切球的半徑．

解答 解：由三視圖可知：該四面體是正方體的一個內(nèi)接正四面體，棱長為4$\sqrt{2}$，正四面體的高為$\sqrt{32-（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
設該四面體的內(nèi)切球的半徑為r，則4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×r=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×32$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了三棱錐的三視圖、正方體與內(nèi)切球的性質(zhì)，考查了推理能力與空間想象能力、計算能力，屬于中檔題．