Question

19．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3ln（{x+2}）$
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出；
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$單調(diào)遞減，即可求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3ln（{x+2}）$，則其定義域?yàn)椋?2，+∞）
∴f′（x）=x-$\frac{3}{x+2}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{x+2}$，
令f′（x）=0，
解的x=1或x=-3（舍去），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-2＜x＜1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增減，
故f（x）在（-2，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；
（2）∵0＜e-2＜1，-2＜$\frac{1}{e}$-2＜-1，
由（1）可知，函數(shù)f（x）在$[{\frac{1}{e}-2，e-2}]$單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$-2）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$-2）²-3ln（$\frac{1}{e}$-2+2）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$-2）²+3，
f（x）_min=f（e-2）=$\frac{1}{2}$（e-2）²-3ln（e-2+2）=$\frac{1}{2}$（e-2）²-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．