Question

5．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為$\frac{81}{4}$，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為2．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列為{a_n}，公比為q，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=9和a₁⁴q^0+1+2+3=$\frac{81}{4}$，變形可得$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$=$\frac{2}{9}$，前4項(xiàng)倒數(shù)的和為$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，整體代入可得．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列為{a_n}，公比為q，
則a_n＞0，q＞0且q≠1，
∵前4項(xiàng)的和為9，積為$\frac{81}{4}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=9，①a₁⁴q^0+1+2+3=$\frac{81}{4}$，②
由②可得a₁²q³=$\frac{9}{2}$，故$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$=$\frac{2}{9}$，
前4項(xiàng)倒數(shù)的和為$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{{q}^{4}-1}{{q}^{4}}}{\frac{q-1}{q}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}{q}^{3}}$•$\frac{1-{q}^{4}}{1-q}$=$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=2
故答案為：2

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，整體求解是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．