Question

12．若數(shù)列{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且對任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*）？若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和T_n；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²，分別令n=1，2時，a₁•a₁═2-1，a₂（a₁+a₂）=2×2³-2²，a_n＞0，解得a₁，a₂．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）假設存在數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），可得b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
當n≥2時，b₁+3b₂+…+（2n-3）b_n-1=5+（2n-5）2^n-2，即可得出b_n，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵對任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²，∴當n=1，2時，a₁•a₁═2-1，a₂（a₁+a₂）=2×2³-2²，a_n＞0，解得a₁=1，a₂=3．
∴公差d=a₂-a₁=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）假設存在數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
∴b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
∴當n≥2時，b₁+3b₂+…+（2n-3）b_n-1=5+（2n-5）2^n-2，
∴（2n-1）b_n=（2n-1）•2^n-2，
解得b_n=2^n-2，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2（n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．
因此假設成立，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2（n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．
當n=1時，T₁=4．
當n≥2時，T_n=4+1+2+…+2^n-2
=$\frac{7}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（{2}^{n}-1）}{2-1}$
=2^n-1+3，
上式對于n=1時也成立．
∴T_n=2^n-1+3．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義通項公式前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．