如圖1­5，三棱柱ABC ­A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.

圖1­5

(1)證明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A1B1 ­C1的余弦值．


解：(1)證明：連接BC1，交B1C于點O，連接AO，因為側面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1，且O為B1C及BC1的中點．

又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.

又B1O＝CO，故AC＝AB1.

(2)因為AC⊥AB1，且O為B1C的中點，所以AO＝CO.

又因為AB＝BC，所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB，從而OA，OB，OB1兩兩垂直．

以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系O­　xyz.

所以可取n＝(1，，)．

設m是平面A1B1C1的法向量，

所以結合圖形知二面角A ­A1B1 ­ C1的余弦值為.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為__________．

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三棱錐A ­ BCD及其側視圖、俯視圖如圖1­4所示．設M，N分別為線段AD，AB的中點，P為線段BC上的點，且MN⊥NP.

(1)證明：P是線段BC的中點；

(2)求二面角A ­ NP ­ M的余弦值．

　

圖1­4

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 已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　)

A．(－1，1，0)  B．(1，－1，0) 

C．(0，－1，1)  D．(－1，0，1)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如圖1­6所示，四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．

(1)證明：O1O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．

圖1­6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如圖1­5，在四棱錐A ­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

(1)證明：DE⊥平面ACD；

(2)求二面角B ­ AD ­ E的大�。�

圖1­5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 如圖X26­1所示，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分別是棱C1D1，C1C的中點．給出以下四個結論：

①直線AM與直線C1C相交；

②直線AM與直線BN平行；

③直線AM與直線DD1異面；

④直線BN與直線MB1異面．

其中正確結論的序號為________(填入所有正確結論的序號)．

圖X26­1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


由于當前學生課業(yè)負擔較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從某中學隨機抽取16名學生，經校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如下：

(1)若視力測試結果不低于5.0，則稱為“好視力”，求校醫(yī)從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“好視力”的概率；

(2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求ξ的分布列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知平面內一點P∈{（x，y）|（x﹣2cosα）2+（y﹣2sinα）2=16，α∈R}，則滿足條件的點P在平面內所組成的圖形的面積是　　　　　　．

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