Question

20．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均為單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，則（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$） 的最大值是（　�。�

• A． 2+2$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． 2+$\sqrt{5}$
• D． 1+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）?（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$）的最大值．

解答 解：$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均為單位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=0，
可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
則（$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$）?（$\overrightarrow a+\overrightarrow c$）=（1+cosθ，1+sinθ）•（1+cosθ，sinθ）
=（1+cosθ）²+（1+sinθ）sinθ
=2+2cosθ+sinθ
=2+$\sqrt{5}$sin（θ+α）；
當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)取得最大值2+$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與最值的計(jì)算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．