Question

18．函數(shù)g（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值為2，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，將g（x）向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到f（x）的圖象
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)$α∈（0，\frac{π}{2}）$，則$f（\frac{α}{2}）=2$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的最大值求出A，通過對稱軸求出周期，利用周期公式求出ω，得到函數(shù)的解析式．
（2）通過f（x）的解析式，求出sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，通過α的范圍，即可求出α的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值是2，
∴A=2．
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴最小正周期T=π，
∴ω=2．
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1…（6分）
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（$α-\frac{π}{6}$）+1=2，
即sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（9分）
∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$$＜α-\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{3}$，…（10分）
∴$α-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，故$α=\frac{π}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．