Question

6．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$．
（Ⅰ）求a+4b 的最小值；
（Ⅱ）求證：$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥\frac{4ab}{a+b}$．

Answer 1

分析 （I）將式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}$），展開(kāi)后利用基本不等式即可得出最小值；
（II）化簡(jiǎn)$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$得出右側(cè)式子為常數(shù)4，將左側(cè)式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）展開(kāi)后利用基本不等式得出最小值為4，從而得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
∴a+4b=（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$即a=2b時(shí)取等號(hào)，
結(jié)合$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$可得a=3且b=$\frac{3}{2}$，
故a+4b 的最小值為9；
（2）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=1，∴$\frac{4ab}{a+b}$=4．
∴$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$=（$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}$）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）+（$\frac{a}+\frac{a}$）≥2+2=4．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{a}$即a=b=2時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}≥\frac{4ab}{a+b}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式，不等式的證明，對(duì)式子進(jìn)行乘1化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．