Question

16．如圖，過點N（0，1）和M（m，-1）（m≠0）的動直線l與拋物線C：x²=2py交于P、Q兩點（點P在M、N之間），O為坐標(biāo)原點．
（1）若p=2，m=2，求△OPQ的面積S；
（2）對于任意的動直線l，是否存在常數(shù)p，總有∠MOP=∠PON？若存在，求出p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線l的方程與拋物線方程組成方程組，表示出點P、Q的坐標(biāo)，計算△OPQ的面積S的值；
（2）假設(shè)存在點P滿足條件，根據(jù)M、P、N三點共線以及∠MOP=∠PON，
得出點P到y(tǒng)軸距離與到直線OM的距離相等，求出p的值是常數(shù)．

解答 解：（1）由題意，直線l的方程為y=-x+1．設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，得x²+4x-4=0，
則x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
∴S=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（-4）}^{2}-4×（-4）}$
=2$\sqrt{2}$；-----（6分）
（2）設(shè)點P（x₀，y₀），則y₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$；
由M、P、N三點共線，得m=$\frac{{{2x}_{0}}^{2}}{1{-y}_{0}}$；---（7分）
由∠MOP=∠PON，
得點P到y(tǒng)軸距離與到直線OM：x+my=0距離相等，
即|x₀|=$\frac{{|x}_{0}+{my}_{0}|}{\sqrt{1{+m}^{2}}}$，
∴${{x}_{0}}^{2}$+m²${{x}_{0}}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+m²${{y}_{0}}^{2}$+2mx₀y₀，
即m${{x}_{0}}^{2}$=m${{y}_{0}}^{2}$+2x₀y₀；----（9分）
把y₀=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$，m=$\frac{{2x}_{0}}{1{-y}_{0}}$=$\frac{4{px}_{0}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$代入，
得$\frac{4{px}_{0}{{•x}_{0}}^{2}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{px}_{0}}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$•$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{4p}^{2}}$+$\frac{{2x}_{0}{{•x}_{0}}^{2}}{2p}$，
即$\frac{4p}{2p{{-x}_{0}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p（2p{{-x}_{0}}^{2}）}$+$\frac{1}{p}$，--------（11分）
∴4p²=${{x}_{0}}^{2}$+2p-${{x}_{0}}^{2}$，
解得p=$\frac{1}{2}$；
故存在常數(shù)p=$\frac{1}{2}$，總有∠MOP=∠PON．---（13分）

點評 本題考查了直線方程與拋物線方程的綜合應(yīng)用問題，也考查了角平分線的應(yīng)用問題以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題，考查了運算能力與推理證明的能力，是綜合性題目．