Question

19．已知動直線l：y=kx+k恒過橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點A，頂點B與A關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，該橢圓的一個焦點F滿足∠FAB=30°．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果點C滿足3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，當(dāng)k=$\frac{2}{3}$時，記直線l與橢圓E的另一個公共點為P，求∠BPC平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k=$\frac{2}{3}$時，將直線l：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$與橢圓E的方程聯(lián)立并整理得2x²+x-1=0，求出P，B，C的坐標(biāo)，可得直線PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距離相等，求出Q的坐標(biāo)，即可求出求∠BPC平分線所在直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，A（-1，0），所以b=1，
因為tan∠FAB=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以a²=$\frac{4}{3}$，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)k=$\frac{2}{3}$時，將直線l：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$與橢圓E的方程聯(lián)立并整理得2x²+x-1=0，
所以P的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，即P（$\frac{1}{2}$，1）．
因為B（1，0），3$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$=0，
所以C（-1.5，0），
所以直線PB的方程為2x+y-2=0，直線PC的方程為x-2y+1.5=0．
令Q（t，0）為∠BPC平分線與x軸的交點，則Q到PB，PC的距離相等，即$\frac{|2t-2|}{\sqrt{5}}=\frac{|t+1.5|}{\sqrt{5}}$，
所以t=$\frac{1}{6}$或t=$\frac{7}{2}$．
考慮到Q在B，C之間，則t=$\frac{1}{6}$，即Q（$\frac{1}{6}$，0），
所以∠BPC平分線所在直線的方程為6x-2y-1=0．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．