Question

2．設(shè)x³+ax+b=0，其中a，b均為實數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是①③④．（寫出所有正確條件的編號）
①a=b=-3；②a=-3，b=2；③a=-3，b＞2；④a=0，b=2．

Answer 1

分析 令f（x）=x³+ax+b=x³-3x-3，求導(dǎo)f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而可得①正確；同理求得．

解答 解：令f（x）=x³+ax+b，
當(dāng)a=b=-3時，f（x）=x³-3x-3，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
f（-1）=-1，f（1）=1-3-3=-5，
故f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，
故方程有且只有一個根；
同理可得，
②a=-3，b=2不正確；
③a=-3，b＞2；④a=0，b=2也正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．