Question

14．求下列函數(shù)的最值：
（1）y=2x³+3x²，x∈[-2，1]；
（2）y=ln（1+x²），x∈[-1，2]；
（3）y=x+$\sqrt{1-x}$，x∈[-5，1]．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)y′=6x（x+1）以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求極值，再求最值；
（2）觀察法求函數(shù)的值域，再求最值；
（3）利用換元法令$\sqrt{1-x}$=t，則x=1-t²，t∈[0，$\sqrt{6}$]；再利用配方法求最值．

解答 解：（1）∵y=2x³+3x²，∴y′=6x（x+1），
∴y=2x³+3x²在[-2，-1]上是增函數(shù)，
在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，1]是增函數(shù)；
而y|_x=-2=2×（-2）³+3（-2）²=-4，
y|_x=-1=2×（-1）³+3（-1）²=1，
y|_x=0=2×0³+0=0，
y|_x=1=2×1³+3=5，
故最小值為-4，最大值為5；
（2）∵x∈[-1，2]，
∴1+x²∈[1，5]，
∴l(xiāng)n（1+x²）∈[0，ln5]；
故最小值為0，最大值為ln5；
（3）令$\sqrt{1-x}$=t，則x=1-t²，t∈[0，$\sqrt{6}$]；
y=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∵t∈[0，$\sqrt{6}$]，
∴-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$∈[-5+$\sqrt{6}$，$\frac{5}{4}$]，
故最小值為$\sqrt{6}$-5，最大值為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了換元法與配方法的應(yīng)用．