Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）．（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，求：
（1）$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角；
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）由已知等式得到向量$\overrightarrow$的模，然后由向量的數量積公式求夾角；
（2）先求其平方，展開，轉化為向量的平方和數量積的運算解答．

解答 解：（1）因為|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，所以|$\overrightarrow$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°；
（2）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=1+4×$\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{2}$=5，所以）|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了向量的數量積公式的運用求向量的夾角以及求向量的模；一般的，沒有坐標表示的向量，如果求其模，一般先求其平方．