Question

6．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且a₂、a₄是函數(shù)f（x）=（x²-14x+46）e^x的兩個(gè)極值點(diǎn)，數(shù)列{b_n}滿足：點(diǎn)（b_n，T_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$的圖象上，其中T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n，求證：$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)f′（x）=0及等差數(shù)列{a_n}是遞增的，可得a₂=4，a₄=8，進(jìn)而可得a_n=2n，將點(diǎn)（b_n，T_n）（n∈N^*）代入函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，利用b_n+1=T_n+1-T_n=可得數(shù)列{b_n}是公比為3的等比數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n=$\frac{n（n+1）}{2n+3}•{3}^{n}$，可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$，當(dāng)n≥4時(shí)利用放縮法即可．

解答 （1）解：∵f（x）=（x²-14x+46）e^x，
∴f′（x）=（2x-14）e^x+（x²-14x+46）e^x=（x²-12x+32）e^x，
∵a₂、a₄是函數(shù)f（x）=（x²-14x+46）e^x的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴a₂、a₄是方程x²-12x+32=0的兩個(gè)根，
又∵等差數(shù)列{a_n}是遞增的，
∴a₂=4，a₄=8，
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{2}$=2，a₁=a₂-d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1）；
∵點(diǎn)（b_n，T_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$的圖象上，
∴T_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，T_n+1=$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$，
∴b_n+1=T_n+1-T_n=（$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$）-（$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$b_n+1-$\frac{3}{2}$b_n，
∴b_n+1=3b_n，即數(shù)列{b_n}是公比為3的等比數(shù)列，
由b₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，知b₁=3，
∴b_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）證明：c_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+3}$•b_n=$\frac{n（n+1）}{2n+3}•{3}^{n}$，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{2n+3}{n（n+1）•{3}^{n}}$=2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$，
∵$\frac{1}{{c}_{1}}$=$\frac{2+3}{2•3}$=$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$≥$\frac{5}{6}$，
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{{c}_{2}}$=2$\frac{1}{3•{3}^{2}}$+$\frac{1}{2•3•3}$=$\frac{7}{54}$，
當(dāng)n=3時(shí)，$\frac{1}{{c}_{3}}$=$\frac{2•3+3}{3•4•{3}^{3}}$=$\frac{1}{36}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+$\frac{1}{{c}_{3}}$＜1，
當(dāng)n≥4時(shí)，2$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$≤2$\frac{1}{5•{3}^{n}}$，
$\frac{1}{n（n+1）•{3}^{n-1}}$≤$\frac{1}{4•5•{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$≤$\frac{5}{6}$+$\frac{7}{54}$+$\frac{1}{36}$+2$•\frac{1}{5}$•$\frac{\frac{1}{81}[1-（\frac{1}{3}）^{n-3}]}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{20}$•$\frac{\frac{1}{27}[1-（\frac{1}{3}）^{n-3}]}{1-\frac{1}{3}}$
＜$\frac{5}{6}$+$\frac{7}{54}$+$\frac{1}{36}$+2$•\frac{1}{5}$•$\frac{1}{54}$+$\frac{1}{20}$•$\frac{1}{18}$
＜1，
綜上所述，$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{{c}_{1}}$+$\frac{1}{{c}_{2}}$+…+$\frac{1}{{c}_{n}}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道數(shù)列與不等式、函數(shù)的綜合題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．