Question

如圖，在Rt△ABC中，∠=90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若∠ABC=60°，AE=6，求EC的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：立體幾何

分析：（1）設(shè)線段DB的中點為O，連結(jié)EO，由已知得OB=OE，∠OEB=∠OBE，∠CBE=∠OBE，∠OEB=∠CBE，OE∥BC，∠AEO=90°，由此能證明AC是△BDE的外切圓的切線．
（2）由C是圓O的切線，得∠OEA=90°，∠ABC=60°，OE∥BC，從而∠AOE=60°，OE=2

3

，由此能求出EC的長．

解答： （1）證明：設(shè)線段DB的中點為O，連結(jié)EO，
∵DE⊥EB，∴點O是圓心，∴OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
又BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，
∴AC是△BDE的外切圓的切線．
（2）解：由（1）知C是圓O的切線，
∠OEA=90°，∠ABC=60°，OE∥BC，
∴∠AOE=60°，∵AE=6，∴OE=2

3

，
△OBE中，∠OEB=∠OBE=30°，
∴BE=

3

OB=6，Rt△BEC中，∠OBE=30°，
∴CE=

1

2

BE=3．

點評：本題考查三角形外接圓的切線的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．