Question

二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設圓C經過上述二次函數的圖象與兩坐標軸的三個交點，求圓C的方程；
（Ⅲ）設直線l₁：mx-y+2=0與（Ⅱ）中的圓C交于A，B兩點，是否存在實數m，使得過點P（1，1）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），則由f（0）=-3，得c=-3，由此能求出f（x）=x²+2x-3．
（Ⅱ）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x²+Dx+F=0，從而D=2，F=-3，令x=0，得y²+Ey+F=0，此方程有一個根為-3，代入得出E=2，由此能求出圓C的方程．
（Ⅲ）把直線mx-y+2=0，即y=mx+2，代入圓C的方程，得（m²+1）x²+（6m+2）x+5=0，由于直線mx-y+2=0交圓C于A，B兩點，由△＞0得m＜-2或m＞

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2

，設符合條件的實數m存在，解得m=-1不滿足△＞0，從而不存在實數m，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

解答： 解：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
則由f（0）=-3，得c=-3，
f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=2ax+a+b=2x+3，
∴

2a=2 a+b=3

，解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x-3．
（Ⅱ）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得x²+Dx+F=0，
這與x²+2x-3=0是同一個方程，
∴D=2，F=-3，
令x=0，得y²+Ey+F=0，此方程有一個根為-3，代入得出E=2，
∴圓C的方程為x²+y²+2x+2y-3=0，
即（x+1）²+（y+1）²=5．
（Ⅲ）把直線mx-y+2=0，即y=mx+2，代入圓C的方程，
消去y，整理得（m²+1）x²+（6m+2）x+5=0，
由于直線mx-y+2=0交圓C于A，B兩點，
故△=4（3m+1）²-20（m²+1）＞0，
即2m²+3m-2＞0，解得m＜-2或m＞

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，（*）
設符合條件的實數m存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（-1，-1）必在l₂上，
∴l(xiāng)₂的斜率k_PC=1，而k_AB=m=-

1

kPC

，
∴m=-1不滿足（*）式，
故不存在實數m，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

點評：本題考查函數解析式的求法，考查圓的方程的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．