Question

已知函數(shù)f（x）=2x+alnx，
（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））的切線為y=3x-1，求a；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=2+

a

x

，k=f′（1）=2+a=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由已知得2x+alnx≤（a+3）x-

1

2

x2，a（x-lnx）≥

1

2

x2-x，從而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，設(shè)g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[1，e]，
由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a≥-

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x+alnx，
∴x＞0，f（1）=2，
f′(x)=2+

a

x

，
∵f（x）在（1，f（1））的切線為y=3x-1，
∴k=f′（1）=2+a=3，
解得a=1．
（Ⅱ）∵存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，
∴2x+alnx≤（a+3）x-

1

2

x2，
∴a（x-lnx）≥

1

2

x2-x，
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x，
且等號(hào)不能同時(shí)取到，∴l(xiāng)nx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，設(shè)g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[1，e]，
∵g′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，x-1＞0，lnx＜1，
∴

1

2

x+1-lnx＞0，
∴g′（x）＞0，又∵g（x）在x=1和x=e處連續(xù)，
∴g（x）在x∈[1，e]時(shí)為增函數(shù)，因而g（x）≥g（1）=-

1

2

，
∴a≥-

1

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．