Question

4．將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并指明曲線的類型．
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)，a，b為常數(shù)，且a＞b＞0）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosφ}}\\{y=btanφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)，a，b為正常數(shù)）；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，p為正常數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式消去參數(shù)，即可得到其普通方程；
（2）根據(jù)1+tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，消去參數(shù)，即可得到其普通方程；
（3）用代入法消去參數(shù)，得到所求的普通方程，然后，給出該方程對應(yīng)的軌跡即可．

解答 解：（1）根據(jù)已知，得
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
它表示一個焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
（2）結(jié)合1+tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，得
消去參數(shù)φ，得
1+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
它表示一個焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
（3）根據(jù)已知參數(shù)方程，消去參數(shù)，得
y²=2px，（p＞0），
它表示一個焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線．

點(diǎn)評 本題綜合考查了橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程和普通方程的互化、三角公式的應(yīng)用等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．